应接不暇的近义词有以下几个：

1. 眼花缭乱：形容事物繁多，使人眼花缭乱，难以应对。

2. 应付自如：指处理事物得心应手，不感到困难。

3. 繁忙不堪：形容事情非常多，忙得不可开交，无法应付。

1. 眼花缭乱：这个成语出自《左传·僖公二十五年》。原意是指眼睛看得眼花缭乱，形容事物繁多，让人无法一一看清。在现代汉语中，这个成语用来形容事物变化多端，让人难以应对。例如：“面对这个复杂的世界，他总是感到眼花缭乱。”

2. 应付自如：这个成语出自《左传·宣公十二年》。原意是指处理事情得心应手，不感到困难。在现代汉语中，这个成语用来形容人在面对问题时，能够轻松应对，毫不费力。例如：“他在工作中应付自如，赢得了同事们的赞誉。”

3. 繁忙不堪：这个成语出自《汉书·艺文志》。原意是指事情非常多，忙得不可开交。在现代汉语中，这个成语用来形容人因为工作、学习等原因，忙碌得无法休息。例如：“最近这段时间，他因为工作繁忙不堪，几乎没有时间休息。”

这三个同义词都能够帮助您更好地理解“应接不暇”这一成语的含义。在实际运用中，可以根据语境选择合适的同义词来表达。