2011南通中考数学压轴题解析助你提分

：面对压轴题的常见误区

很多同学一看到中考数学压轴题就头疼，觉得它们又难又抽象。其实啊，这些题目虽然看起来高大上，但拆解开来，都是我们学过的知识点组合而成的。我当年带学生的时候，发现大部分同学不是不会，而是被题目表面的复杂形式给吓倒了。

记得有次模拟考试，有个学生跟我说：”老师，这题我好像见过类似的，但就是不知道从哪下手。”我仔细一看，发现他指的是去年某地市的中考题改编版。这说明什么？说明同学们平时练习太局限了，看到换汤不换的题目就蒙圈。

今天我就以2011年南通中考数学的3道压轴题为例，带你看看这些”拦路虎”到底是怎么解的。我会用最接地气的方式，把解题思路一步步给你讲明白，让你不仅知道答案，更明白为什么这么解。

第1道压轴题：函数与几何的综合题解析

题目情境还原

2011年南通中考第25题是一道典型的函数与几何综合题：

“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D。”

“（1）求抛物线的解析式；”

“（2）若点E在抛物线的对称轴上，且△BCE的面积为2，求点E的坐标；”

“（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以B、C、E为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。”

很多同学拿到这样的题目，第一反应就是：”天哪，这么多条件，从何下手？”其实啊，这就像做饭，食材再多，也有先后顺序。

解题步骤拆解

第一步：求抛物线解析式

这个是最基础的步骤，但很多同学容易出错。记住，已知三点求二次函数，最直观的方法是代入点坐标。

我教学生时，会让他们先记住这个万能公式：把三个点代入y=ax²+bx+c，得到三个方程，然后解方程组。

具体到这道题：

1. 把A（-1，0）代入：0=a(-1)²+b(-1)+c → a-b+c=0

2. 把B（3，0）代入：0=a(3)²+b(3)+c → 9a+3b+c=0

3. 把C（0，3）代入：3=a(0)²+b(0)+c → c=3

解这个方程组：

从第三个式子知道c=3，代入前两个式子：

a-b+3=0 → a-b=-3

9a+3b+3=0 → 9a+3b=-3 → 3a+b=-1

现在解这个简化后的方程组：

a-b=-3

3a+b=-1

把两个式子相加：4a=-4 → a=-1

代入a-b=-3：-1-b=-3 → b=2

所以抛物线解析式是：y=-x²+2x+3

第二步：求点E的坐标

这一步是关键，很多同学在这里卡住。题目说点E在对称轴上，△BCE面积为2。

首先要知道，抛物线y=-x²+2x+3的对称轴是x=1（因为对称轴公式是x=-b/2a）。

所以E点的坐标形式是（1，y）。现在要利用面积条件。

△BCE的面积公式是：S=1/2×BC×BE的垂直距离

BC的长度是√（3²+3²）=3√2，BE的垂直距离就是|y-0|=|y|

所以面积=1/2×3√2×|y|=2 → |y|=2/(3√2/2) → |y|=2√2/3

因为E在对称轴右侧，所以y=2√2/3

所以E点坐标是（1，2√2/3）

第三步：寻找点P

这一步最考验综合能力。题目问是否存在点P，使△BCE与△BCE相似。

相似三角形的条件是：

1. 角相等

2. 边成