2013北京高考数学压轴题解析：3个解题思路助你拿分
：聊聊高考压轴题那些事儿
大家好啊，我是老王，在教数学这条路上摸爬滚打了十几年，每年高考季都像过自己的生日一样重要。尤其是数学压轴题，那可是不少学生的噩梦。2013年的北京高考数学压轴题，当年可是难倒了无数考生，连不少老师看了都直呼”上头”。但说到底，难归难，方法对了，照样能拿下。今天我就以这位前辈的身份，跟大家唠唠这道题的解题思路，希望能帮到正在备考的同学们。
一、题目回顾：当年那道让人抓狂的压轴题
咱们先来看一下当年那道题的原貌（虽然现在官方可能已经改版了，但核心思想不变）：
> 已知函数f(x) = x³ – ax² + bx + c在x=1处取得极值，且f(0) = 1。当x∈[-1,4]时，f(x)的最大值为3，最小值为-29。求函数f(x)的解析式。
当年考完，不少学生反映：”这题根本没思路！”、”参数这么多，怎么可能解出来？”。其实啊，越是这种时候，越要冷静。我当年带学生复习时，就专门针对这类问题设计了三个解题思路，今天就跟大家分享。
二、解题思路一：抓住极值点这个”突破口”
2.1 极值点的本质是什么？
首先咱们得明白，函数在某点取得极值，意味着什么呢？简单来说，就是函数的导数在该点等于0，而且导数在该点的左右两侧要变号。用数学语言就是：
F'(x₀) = 0，且f'(x)在x₀的左侧为正，右侧为负（或左侧为负，右侧为正）
2.2 如何利用极值点解题？
对于2013年北京高考这道题，我们首先根据”在x=1处取得极值”这个条件，可以立刻得到：
- 求导数f'(x) = 3x² – 2ax + b
- 令f'(1) = 0，得到3 – 2a + b = 0
这就是我们的第一个方程。接下来呢，我们再利用”f(0) = 1″这个条件，得到：
c = 1
现在我们已经有了两个方程，但未知数有三个（a、b、c），这显然还不够。这时候就得利用题目给出的区间[-1,4]上的最大值和最小值信息了。
2.3 实际案例解析
我当年有个学生小张，第一次拿到这道题时直接蒙了。我跟他讲：”别慌，先看已知条件，哪个最明显？”他立刻说：”f(0) = 1，所以c=1。”我说：”对！现在知道c了，接下来看极值点x=1，求f'(1)=0，得到第一个方程3-2a+b=0。”小张点点头，继续往下解。
这时候我提醒他：”还记得函数在闭区间上的最值要么在端点取得，要么在极值点取得吗？”小张想了想：”对啊！那我就要计算f(-1)、f(1)、f(4)这三个值，然后根据条件等于3和-29来确定a和b。”
最终啊，通过这个思路，小张竟然真的解出来了。所以说啊，解题的时候不要怕麻烦，有时候顺着已知条件一步步往下走，就能找到突破口。
三、解题思路二：巧用区间最值条件构建方程组
3.1 区间最值有什么用？
区间最值条件往往是压轴题的”命脉”，因为它能帮我们构建方程。就像2013年北京高考这道题，告诉我们：
– 在[-1,4]区间上，f(x)的最大值是3
– 在[-1,4]区间上，f(x)的最小值是-29
这两个条件看似简单，但威力巨大。
3.2 如何构建方程组？
我们不妨分情况讨论：
1. 最大值3是在端点取得，还是极值点取得？
2. 最小值-29也是在端点取得，还是极值点取得？
由于题目已经告诉我们极值点是x=1，所以我们可以列出以下几种情况：
- 最大值在x=4取得，最小值在x=1取得