为什么老盯着过去的看？

很多同学和老师问我，是不是非要研究十年前的才有用？说实话，这事儿吧，得看你怎么看。就像咱们学开车，总得看看老司机怎么走老路，对吧？2013年北京高考数学卷，尤其是压轴题，那可真是相当有代表性。那时候的出题风格、考查重点，到现在很多地方还借鉴呢。今天咱们就来掰开揉碎了，聊聊这份数学卷的压轴题，看看能挖出点啥有价值的玩意儿。

整体试卷风格回顾

首先得说，2013年北京高考数学卷，整体风格挺稳的。难度梯度设计得不错，基础题中规中矩，中档题需要点小技巧，压轴题嘛，那绝对是区分度的大杀器。根据北京市教育考试院的官方数据，当年数学卷的难度系数控制在0.65左右，属于中等偏易的水平，但压轴题的区分度却达到了0.35，这说明啥？说明想拿高分，压轴题必须啃下来。

压轴题的考查方向

2013年北京高考数学压轴题，主要考查了三个方向：

– 函数与导数的综合应用

– 解析几何中的参数范围问题

– 立体几何中的空间向量法

这三个方向，现在的高考里依然是重点中的重点。所以研究2013年的卷子，绝对不是浪费时间。

压轴题第一问：函数与导数的”捉迷藏”

咱们先看第一问，这道题其实挺经典的。题目是：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，讨论函数的单调性。

正确答案解析

官方答案是：

> 函数$f(x)$在$(-\infty, 0)$和$(2, +\infty)$上单调递增，在$(0, 2)$上单调递减。

解题思路拆解

1. 求导是关键

求导！$f'(x)=3x^2-6x=x(x-2)$。导数为零的点，就是可能的极值点。

所以$x=0$和$x=2$是两个关键点。

2. 区间测试不能少

把数轴分成三段：$(-\infty, 0)$、$(0, 2)$、$(2, +\infty)$。

– 在$(-\infty, 0)$选$x=-1$，$f'(-1)=3>0$，递增

– 在$(0, 2)$选$x=1$，$f'(1)=-3<0$，递减

– 在$(2, +\infty)$选$x=3$，$f'(3)=9>0$，递增

3. 验证端点

注意题目问的是”讨论”，所以边界点要不要验证？得看情况。这里可以画个草图，直观上也能看出趋势。

常见错误分析

很多同学在这一问容易犯的错误：

– 忽略导数为0的点：直接看$f'(x)$的符号变化，忘了找$f'(x)=0$的解

– 区间测试不全面：只选了中间段测试，忘了两端

– 符号判断错误：二次函数的开口方向和系数容易看错

> “函数的单调性讨论，核心就是导数的符号分析，别光看数值，要结合区间来看。”——这是当年阅卷老师的一个典型评语

压轴题第二问：解析几何的”参数游戏”

第二问难度陡增，题目是：已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，过点$P(1,0)$的直线与椭圆交于$A、B$两点，且$AB$中点为$M$，求$\frac{|PA|\cdot|PB|}{|OM|^2}$的值。

正确答案解析

官方答案是：值恒为$\frac{b^2}{a^2}$。

解题思路拆解

1. 设而不求是常用手段

设直线方程为$y=k(x-1)$，代入椭圆方程，得到：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{k^2(x-1)^2}{b^2}=1$

2. 韦达定理大显