言不由衷，这个成语来源于古代，用以形容一个人说话时并非出自真心，而是言辞与内心不一致。关于生肖动物，我们可以从以下几个线索进行推理：

线索一：成语中的“言”字，暗示了与口才、言语相关的生肖动物。

线索二：“衷”字，意味着内心、真诚，可能与具有忠诚、真诚品质的生肖动物有关。

线索三：“由衷”连用，表明这个生肖动物与真诚、真心有关，可能是一个充满热情、忠诚的动物。

线索四：成语整体传达了一种不真诚的感觉，因此这个生肖动物可能具有某种与不真诚、狡猾相关的特质。

根据以上线索，我们可以推断出这个生肖动物是狐狸。

狐狸在十二生肖中属于“酉鸡”，与“言”字相关，暗示了其与言语、口才有关。狐狸在民间传说中常常以机智、狡猾的形象出现，具有很高的语言表达能力。

狐狸具有忠诚、真诚的品质。在《山海经》中，狐狸被描绘为善良、忠诚的动物，它们守护家园，保护主人。这与“衷”字所表达的内心、真诚相符合。

狐狸在十二生肖中排名第12，代表着热情、忠诚。这与“由衷”连用所表达的真诚、真心相吻合。

狐狸在民间传说中有时会以狡猾、不真诚的形象出现。这与成语“言不由衷”所传达的不真诚感觉相一致。

根据以上四个线索，我们可以得出：言不由衷的生肖动物是狐狸。